Bueno, yo estoy casi seguro de que cualquier navegador entiende perfectamente el H1. Pero fíjate en una cosa, H1 tiene ya sus propiedades definidas de antemano, con un tamaño concreto, en negrita, tal y cual. Si tu cambias sus propiedades desde la hoja de estilo tal y como has hecho, es posible que no veas la diferencia entre el H1 y los P, pues realmente según tu hoja de estilos solo difieren en el tamaño... Es decir, si le pones casi las mismas propiedades a P y a H1 es normal que casi no se vean las diferencias.
Prueba por ejemplo a ponerle color rojo a los H1 y dejar en negro el P y podrás comprobar si el navegador los entiende o no. Esto es muy util a veces para comprobar todas estas cosas. Por ejemplo, si no veo bien los margenes de un párrafo, le coloco en la hoja de estilo un fondo de color por ejemplo verde (cantoso pa que se note bien) y hago vista previa. De este modo no solo veo si está funcionando, sino que también puedo ver hasta donde llegan sus margenes. Luego, una vez comprobado le quito el fondo, claro.
H1{background-color: red}
P {background-color: green}
NOTA: Los colores se suelen poner con otro código, que comienza con una almoadilla #, pero para cosas rápidas temporales yo suelo poner los nombres del color en inglés, que también los lee y así no tengo que memorizar esos códigos tan raros (orange, white, black, yellow, green,....)
Si te deja mucho espacio en la parte del menú, seguramente sea porque los margenes son muy grandes. A pesar de que no los hayas definido en la hoja de estilo, todos los elementos tienen predefinidos unos margenes concretos. Si los quieres más pequeños debes especificarlo en la hoja de estilos. Prueba a poner esto en la hoja, y verás como los margenes desaparecen. Luego es cuestión de ir probando a ponerle valores hasta que quede a tu gusto:
P {margin: 0px 0px 0px 0px ; padding: 0px 0px 0px px}
H1 {margin: 0px 0px 0px 0px ; padding: 0px 0px 0px px}
Ale, ya sabes donde estamos, no dudes en preguntar cuanto desees, oki?
Un abrazo!