Ayuda con php

Pues tras vagar por los mundos interneteros en busca de conocimiento sobre el lenguaje php caí en la miseria de la ignorancia. Hasta que hace unos días, revisando mis favoritos redescubrí la web de CCTW y vi que había un curso de php y mysql, que arrojó luz a mi cerebro XD

Bueno, la duda que tengo es que introduje un fragmento en php en una web, en un hosting de pago. Pongamos por caso que la página se llama cosa.html. Pues el fragmento, con sus debidos "<?php" y "?>" no se ejecuta. Como era lo primero que hacía en php, pensé que era cosa mía, que hacía algo mal.
Pero creo que no es el caso, porque me hice una cuenta en un hosting gratuito, y un copia y pega de esa página, funciona perfectamente. Tampoco es que el hosting de pago no disponga de php, porque si guardo la página como cosa.php, funciona bien.
Os pongo lo que tengo ahora mismo:
<html>
<head>
</head>
<body>
<?php echo "Esto funciona correctamente."; ?>
</body>
</html>

Sencillo ¿verdad?

La pregunta es, si esto es normal, que tengo que guardar las páginas con extensión php en lugar de html. Y si es normal ¿por qué en el hosting gratuito funciona?

Bueno, un saludo y gracias de antemano.
Es normal hasta cierto punto, ya que depende de la configuracion del servidor, supongo que no esta configurado para ejecutar fracmentos de php en documentos html, para solucionarlo podrias agrear las siguientes lineas a un archivo .htaccess

AddType application/x-httpd-php .htm
AddType application/x-httpd-php .html

Lo Subes a tu servidor y pruebas, eso deberia ejecutar los fracmentos de php incrustados en archivos html
Exácto! Revisaré las lecciones. Creí haberlo advertido en alguna parte.

Tengo apuntadas otras opciones por si la que comenta serverdns no te funcionara (no por fallo suyo, sino por distintas versiones de Php del servidor y tal.... creo):

AddHandler application/x-httpd-php5 .html .htm

o

AddHandler application/x-httpd-php .html .htm

o

AddHandler x-httpd-php .html .htm

o

AddType application/x-httpd-php .htm .html AddHandler x-httpd-php .htm .html

o

<FilesMatch "\.(htm|html|php)$"> SetHandler application/x-httpd-php </FilesMatch>

o

<FilesMatch "\.(htm|html|php)$"> SetHandler application/x-httpd-php5 </FilesMatch>

Empieza por la primera y si no funciona ve cambiando. Si no lo logras avisa e investigamos, oki?

Un abrazo!
Muchas gracias por vuestras respuestas, lo he solucionado.
No tenía ni idea de qué era el .htaccess del que hablabais XD, aunque me sonaba haberlo visto en algún hosting gratuito por ahí. Pero el que a mi me interesaba no tenía ese archivo. Lo he creado con el bloc de notas, y sólo le he puesto una línea. He ido modificandolo y al final ha ido con la 3ª línea (ya se sabe, a la 3ª va la vencida): AddHandler x-httpd-php .html .htm

Pues eso, que muchas gracias y un saludo ;)
Hace tiempo que no lo uso, pero creo recordar que si esa línea termina en .html .htm permites la ejecución de php dentro de esos dos tipos de extensiones. Si solo las usas en archivos .html o solo en .htm puedes eliminar la otra, creo!