Hola:
¿Es necesario que la información se envíe al servidor o eso no importa? Si no necesitas enviar la información al servidor, entonces lo puedes hacer así:
<html>
<head>
<script type="text/javascript" src="http://ajax.googleapis.com/ajax/libs/jquery/1.8.2/jquery.min.js"></script>
<script type="text/javascript">
jQuery(document).ready(function($) {
$('#cambiar-texto').click(function(e) {
e.preventDefault();
var value = $('#caja1').val();
$('#caja2').html(value);
});
});
</script>
</head>
<body>
<textarea id="caja1"></textarea>
<div id="caja2"></div>
<a id="cambiar-texto" href="">Cambiar</a>
</body>
</html>
Puedes cambiar textarea, div y a por cualquier otra etiqueta. Si modificas el id de los elementos, asegúrate de cambiar los respectivos nombres dentro del <script...></script>.
Saludos.